第二章 高中学生物理学习中应用数学思想方法的调查与分析

2.1  他人相关研究及成果

一．国内外对数学思想方法与物理结合的相关研究

物理学习中数学知识的运用常常被视为物理学中的一种科学方法，与观察方法、实验方法、理想化方法、类比方法、假说方法并列，称为数学方法，是指运用数学所提供的概念、符号、规则、理论和技巧，对所研究的对象进行定量分析，并用数学形式表达物理规律的方法。许多学者分析了数学思想方法在物理学习中的作用，包括精确地描述物理概念和规律，从已知理论和公式导出新的理论与公式，进行数量分析和解答习题，记录和整理观察或实验数据等。

国外中学阶段开设的是综合科学课程，很少有专门的物理课程，因此，有关中学阶段物理学习中的数学思想方法运用问题的国外研究文献较为少见。国内有关数学思想方法的文献大多关注以下两个方面的问题。一方面，有学者归纳了物理学习中所运用的数学知识，包括方程和不等式，函数和三角函数，几何知识，极限，数列等等，并且讨论了如何更好地将数学思想方法应用于物理学习中；王丽军则采用调查的方法调查了高一物理学习需要的数学知识，指出了数学思想方法在物理学习中的重要性。同时，有多篇的文献均为一线教师对数学知识在物理学习中的运用技巧的探讨，这些文献罗列了中学物理学习所需的数学思想方法，可以为我们的研究提供相当丰富的参考。

按照布鲁姆的观点，决定学习结果的性质的变量包括三个方面：学生对新的学习任务的认知准备状态，情感准备状态和教学的质量。其中认知准备状态就是指学生在学习开始时掌握有关知识技能上的差异。布鲁姆认为认知准备是掌握新的学习任务的必要条件，是决定学习结果的三个变量中最为关键的因素，根据布鲁姆的推算，认知准备状态能说明学生成绩变化的50%。有研究表明中学数学和高等数学知识水平对学习普通物理五个分科的“相对正影响”都在50%以上。袁丽指出Hudson等人研究发现先前的数学能力对学生物理学习成绩有主要的影响，尤其David的研究表明学生的物理成绩不与先前物理成绩显著相关，相反，却与先前的数学技能显著相关，大学阶段的结论也类似，如高等数学与工程力学。大学物理及电功与电子技术的成绩呈较高的相关性，而与概率论，统计学呈中等正相关，而与线性代数几乎不相关，Halloun和Hestenes也发现学生的数学能力与学生在物理概念测试中的表现是相关的。国内也有两篇硕士论文中的研究结果表明初，高中学生数学成绩和物理成绩之间表现出很高的正相关，而且中等成绩的学生其数学与物理成绩的相关程度最高。另外，还有对物理教师的调查显示，教师们普遍认为数学学习能力影响物理学习的质量与速度，而且学生的数学学习习惯、方法、意志都可能对学生学习物理产生正面或负面影响。

以上研究主要显示了数学能力或成绩与物理成绩的相关，研究者以此为依据说明数学基础对物理学习的重要影响。但是，教育研究理论告诉我们，对于相关原因的解释还必须十分谨慎，可能还需要考虑其他因素的影响，例如学生一贯的良好的认知和非认知因素等。如果我们从反方向来证明，例如，选取同质样本，通过对比数学基础足与不足对物理学习的影响情况来研究就更有说服力了。在该课题的研究中，我会注意比较每个学生在研究前后数学能力对物理学习情况的影响，以此证明在物理教学中加强数学思想方法渗透的重要性。

有研究者还提出了物理学中的数学思想方法与纯数学中的思想数学方法存在区别的观点。如梁树森指出，与数学学科本身的思想方法相比，物理学中的数学思想方法显得模糊和灵活，实际是物理思维和数学思维高度融合的产物。Redish也提出物理学中的数学与纯数学中的不同，指出虽然说数学是科学的语言，但是物理中的数学思想方法与数学本身相比是一种截然不同的语言体系。根据Redish的分析，数学思想方法在运用于物理的过程中发生了变化，并非数学知识的简单运用或者仅是数学知识在新情景中的迁移，而是在运用过程中，纯数学的语言被赋予了实际意义，成为具有物理特色的符号语言。也就是说，数学在物理的运用过程中，已经经过了物理化，成为物理学中所特有的数学语言，是真正描述物理世界的语言。这些分析一方面使我们认识到物理学中的数学思想方法具有不同于数学本身的特色，因此在运用数学思想方法解决物理问题时，不可避免地要进行物理建模和数学建模，将数学与物理有机的结合起来；另一方面，也提醒我们注意：在分析数学运用困难的原因时，可以从这个角度进行思考。

二．国内外与数学思想方法运用有关的困难研究

物理学习需要一定的数学基础，学生在物理学习之前需要进行较多时间数学知识的准备，没有一定的数学知识作为基础，就无从谈起对数学思想方法的灵活运用，只有在掌握了一定程度的数学知识基础之后，才能进入相应程度的，系统的物理学习。因此，数学课程与物理课程在内容的前后顺序上需要相互的配合。

然而，由于数理分科，实际的数学课程与教学未必满足物理学习的需要。国内已有个别文献涉及物理学习中的数学基础不足问题。王丽军调查了高一学生和教师，了解到实际教学中存在的数学与物理不同步的情况，如一次函数的斜率在初中没有涉及到，而高一学习运动的图像时就要用到。

对于数学基础不足问题的解决，目前实际情况是在物理学习的过程中，适当的补充一些数学知识。对于物理课程中的数学运用、衔接等问题研究，仅是经验的总结或归纳，很少建立在广泛调查和深入分析之上，欠缺系统的论证研究，而且均未呈现实际数学基础不足的具体情况，也未涉及数学基础不足对物理学习的影响，尤其对于数学基础不足问题是否需要在课程的层面进行解决的问题，还缺少深入的分析与研究。

学生在将数学知识运用于物理情境的过程中会遇到很多困难，这种由于数学知识的运用而引起的物理学习的困难，常被称为物理学习中的数学困难。学生们认为数学降低了他们的物理分数，他们宁愿物理内容中没有数学的成分。王丽军调查也发现高一学生产生物理学习困惑的原因在于：当数学运用于具体的物理问题中时，要结合实际问题处理，有时与数学情境中的运用会有不同。

有关物理学习中的数学困难方面的研究主要以国外文献居多，国内较少见。同样，国外由于中学阶段没有分科的物理课程，因此，对物理学习中的数学困难研究，大都是针对大学阶段进行的研究。

三．他人相关研究和本课题的联系

从我所了解的相关资料来看，国内外关于在高中物理教学中加强数学思想方法渗透的研究以体现加强渗透的重要性为主，在此基础上研究如何去加强渗透。大多数研究罗列了在物理教学中需要用到的数学思想方法，然后以具体的例题说明运用这些数学思想方法的优点。这些内容也是本课题需要涉及到的内容，所以我在进行这个课题研究开始，进行了问卷调查和面对面的访谈，期望通过自己的调查去了解高中学生在物理学习中所具有的数学思想方法情况。这个调查的目的主要并不是为了证明需要在高中物理教学中加强数学思想方法的渗透，因为这个结论在他人众多的研究中已经表现出来，主要是期望得到一些与自己学生有关的信息，然后因人施教，能够去找到一些适合自己学生的教学方法，以提高他们应用数学思想方法处理物理问题的能力。

国内外的对于该课题的研究以强调加强数学方法渗透为主，涉及到数学思想的相对较少。数学方法是一种具体的操作手段，归根结底是需要有数学思想的指导才能更加主动灵活地将数学方法运用于物理学习中，所以我在研究的过程中注重对数学思想的强调，数学方法就会很自然地运用于物理解题过程中，这样的教学虽然不能突然见到很好的效果，但是持续一段时间后发现相对单纯的数学方法的渗透，加强数学思想方法的渗透会更容易让学生在能力方面产生质的飞跃。

2.2  调查的目的

中学物理教育是中学科学教育不可缺少的重要组成部分，也是科学教育的核心内容之一。了解普通高中学生对数学思想方法的认识现状，了解他们在物理学习中运用数学思想方法解决物理问题的能力，通过对存在问题的分析，为制定如何加强高中物理教学中数学思想方法的渗透提供依据。

2.3  调查设计的思想与方法

目前教师对学生能力的考察主要依据平时的试卷检测，但是通过这样的检测反馈出来的只是学生的综合能力，学生出错的地方或许是因为不能灵活运用数学思想和方法来解决问题，也很有可能是由于物理知识的欠缺而导致问题不能解决，甚至可能是由于粗心而导致丢分，因此从这样一般性的检测上不能很好地反映学生具备的运用数学思想解决物理问题的能力，为减少因为物理知识的欠缺导致的对调查结果的影响，可以采用“等价排除法”。

等价排除法是首都师范大学续佩君先生提出来的。首先教师以能力测量为单一目的，命出能力测试卷（下简称A卷），根据A卷涉及的物理知识范围、内容、程度，再命出与A卷中知识等价的知识测试卷（K卷）。在检测时，学生先解答K卷试题，凡达到优秀者才获准参试A卷，从而排除了A卷中知识的掌握程度对能力测量中的干扰作用，A卷评定即为能力水平标志。

2.4  调查内容

1.调查说明

本调查分两个方面。一是调查高二学生运用数学思想解决物理问题的能力，对应测试卷A卷；一是调查高二学生基本物理知识的掌握情况，对应测试卷K卷。

调查问卷的内容采纳了多方的信息和建议，包括网上搜索相关内容、向校内外资深教师咨询等。在编制调查测试问卷时注意到了以下问题：

（1）      物理内容与数学有机结合，物理知识难度适宜，不因太难或者太容易而导致无法准确地得到想要的相关信息。

（2）      尽量做到情景新颖，避免出现学生熟悉的陈题而导致调查失效。

（3）      A卷所涉及到的题目，运用数学思想解题要有相对明显的优势。

2.调查对象

此次调查对象是高二年级理科班学生，本学校高二一共4个理科班，学生共156人，其中两个班学生基础较好，另外两个班要薄弱一些。通过对K卷的测试，挑选了基本完全正确的学生共42人继续进行A卷的测试。

根据我所在学校的生源状况，参加A卷测试的42名同学属于在高考中物理学科能达到A或者B的学生，但是很少有人能达到A+。也就是120分总分能拿60到100分之间的学生。他们是很有代表性的一批人，教师的教学对他们的影响也是显著的。成绩太低的学生常常因为缺乏学习的主动性和学习兴趣，导致几乎不接受教师教授的信息，而成绩非常优异的学生，自主的学习往往起到了更主导的作用，所以相比这两类学生，我所选择的研究对象更能体现在物理教学中加强数学思想渗透的必要性和有效性。

3.调查内容

能力测试卷A涉及到的数学思想有：方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归思想。知识测试卷K主要是涉及到力学、热学、电学和光学部分的基础知识。

测试卷见附录。

2.5  调查结果及分析

一．A卷每题的解答情况统计与分析

第1题：有31个同学完全做出了答案，但是其中29名同学都是按照常规方法算出 和 的大小，然后代入公式两边分别计算出相同结果，得以证明。这样的方法计算过程繁琐，也容易出现计算错误。另外2名同学充分利用了数学二次函数根的关系，直接得到 和 的大小，大大减少了计算量。

第2题：此题用物理公式进行常规计算，难度不算大，所以所有的学生都选用直接代公式计算的方法进行解答。没有人用数形结合思想，利用 图像解答。

第3题：此题没有学生做出来，无法将图形问题代数化是导致他们无法解答的根本原因。

第4题：根据题意，可以列出两个式子，但是会产生至少3个未知数，不可能同时将所有未知数算出来，如果具备了较好的方程函数思想，就可以巧妙地设置未知数，设出 或者 两组未知数，这样就可以将 或者 当做一个未知数进行求解，虽然不能得到 的具体大小，但却能得到题目要求求出的电源电动势 的值。有35个同学解答出了结果。没有做出结果的同学基本是不假思索地设置了 四个未知数，导致无法求解。

第5题：本题要用到化曲为直的化归转化思想。能完全解答出来的有7个同学，有27个同学在解答中部分体现了对化曲为直方法的使用。或许是限于对求内部“张力”的理解不足，没有完整解答出结果。

第6题：学生缺乏动态分析灵活利用几何图形法的能力。此题只有18名同学正确。

第7题：能答案选完整的一共18个同学，缺乏分类讨论思想是导致不能将所有可能情况选择出来的根本原因。

第8题：虽然对单摆公式熟悉，但是该题目不少同学不知道如何下手，能有正确思路的同学有12名。化归思想在很多学生意识中是陌生的东西，所以无法利用将平面的结论转化到立体情况中。

第9题：此题有11名同学做出了正确解答。不能解答出来的同学关键在于无法设定一个变量以便将三个不同轨道的运动统一在同一个函数表达式中。

第10题：此题已知风速、密度、横截面积，都是一些宏观的物理量，所要求的电功率也是一个宏观量，但已知的宏观量与未知的宏观量之间没有直接的公式、计算关系，似乎无从着手。有7名同学完成了该题，其余同学无法完成宏观和微观之间的转化，因此不能建立有效的模型。

二．学生在物理学习中具有的数学思想现状的分析

根据学生的解答情况以及之后和部分同学进行了面对面的交流，仔细询问了他们在解答过程中的思考过程，对于我校高二学生在物理学习中应用数学思想方法的现状有了大致了解。结论整理如下：

（1）数学学科更抽象、更数字化、图形化，而物理学科是和自然界实际事物紧密相连，更具体，但学生解答物理问题往往不能准确地构建物理模型，找不到相关的物理公式和定律，就更谈不上运用数学思想方法去将这些问题抽象成数学模型。以学生对位置、速度、加速度与时间图像的错误理解为例，学生的错误包括以下几种情形：a.将图形看作图片，没有将图形看作是一个抽象的数学表示，而是当作物体运动情境的具体再现；b.学生能够正确地求出过原点直线的斜率，但求不过原点直线的斜率存在困难；c.学生不认可运动曲线下的面积的意义，不能解释各种运动曲线下面积的意义；d.面积，斜率等混淆。当需要计算面积时，学生经常去计算斜率或者不正确地运用轴上的数值。

（2）对于一些常见的需要运用数学思想方法的题目，学生会机械地记忆这道题目的解题方法，而不去思考本质的内容，如果教师在教学过程中也只注重讲授如何解答，而不引导学生去思考如何举一反三地运用数学思想与方法来解决相关问题，那么学生往往不能进行知识的迁移。这也常常是为什么将一道常见题目稍作变化后，学生无法解答的原因。根据之后与部分同学的当面交谈，了解到一些题目学生会做，是因为多次在参考书上看过了这样的题目，所以就记住了，比如第9题，而第3题很少出现在参考书中，学生从来没见过，就根本无法下手。

（3）因为意识中缺少在物理学习中运用数学思想方法的意识，因此对需要用到数学思想方法解答的物理题目感觉到陌生，理解起来也要花更多力气，所以往往对相关内容产生了畏难情绪，认为凡是用到数学思想方法的物理题目都是很难很难的题目，这样不少中等学生就产生了放弃的想法。但是部分追求新奇和解题高效的学生愿意花精力潜心研究某一种解题思想方法以后，运用起来就常常得心应手了。但这部分学生极少。如果教师不只是在遇到要用数学思想方法解决物理问题的时候才讲解，而是在教学过程中某个时间能集中起来进行相关的学习，让学生通过学习能见到切实的成效，那么他们对运用数学思想方法解题的兴趣就会提高，也就会愿意去研究相关内容。

(4)学生们对数学知识的掌握程度高于在调查之前我的心理预期，他们试图将数学知识运用于物理学习中的主动性也比想象中的好，但是他们不清楚如何将数学知识应用于相对应的具体物理问题中，或者在应用过程中出现了某些环节的错误。这往往表现为不正确的设定问题的结构，带来不正确的解题过程；错误理解问题的情境，构造了不正确的程序等。因此在具体的教学实践中，可以更侧重于如何有效地将数学思想方法应用在物理教学中，让学生掌握将数学思想与方法应用于物理学习中的一般程序，而不需要对数学思想方法的知识进行更多的教学。