第一章   数学思想与方法概述

1.1数学思想

1.什么是数学思想

思想是指客观存在的反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。既然思想是一种理性认识的结果，那么数学思想可以认为是人们在数学发展史上各个阶段的理性认识的总和，是对数学的本质的认识。也有人认识到数学是一种社会活动，将数学思想阐述为人们对数学研究对象统一的、本质的认识。也有人用数学观念阐述数学思想，认为数学观念是指人们用数学的思考方式去考虑问题、解决问题的自觉意识或思维习惯，数学思想是以数学观念为核心的对数学关系中最一般规律的认识。

总结多种对数学思想的相关描述，我认为以下两种说法更符合在高中教育中去定义数学思想：数学思想是人们进行数学思维的结果，是对客观事物的数量关系与空间形式在人们头脑中的反映，是数学中的理性认识，是数学知识的本质的高级的抽象、概括性的认识。数学思想在认识活动中被反复运用，带有普遍指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。

2.数学思想的显著特点

比较各种对数学思想的相关描述，可以发现它们的共同之处。

首先，数学思想是一种理性的认识，所以它必然是在长期的数学认识活动中，经过实践与认识的多次循环和不断深化，不断地从数学概念、数学命题和数学方法等理性认识中得到概括和提炼，成为一种对数学本质及其规律的深刻认识，形成解决数学问题的一般性观点。

其次，数学思想作为人们对数学认识的反映，又直接决定着数学的实践活动。任何数学活动，都是数学思想的体现和运用。因此，数学思想是对数学概念、方法和理论的本质认识。

第三，数学思想对数学活动的指导作用，不仅仅局限于对一般意义的数学活动，对一切可以运用数学作为工具的活动，无论是科学技术活动还是人文活动，数学思想都将深刻地影响着这些活动的进行。

1.2数学方法

1.什么是数学方法

方法一词，起源于希腊语 ，字面意思是沿着某条道路运动。《苏联大百科全书》中说：“方法表示研究或认识的途径、理论或学说，即从实践上或理论上把握现实的，为解决具体课题而采用的手段或操作的总和。”

数学方法是人们提出、分析处理和解决数学问题的手段、概括性策略^[35]。数学方法是指从数学角度提出问题，解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中所采用的各种方式、手段、途径等。

2.数学思想与数学方法的联系与区别

首先，两者都是以一定的数学知识为基础，反过来又促进着数学知识的深化和数学内涵的丰富。其次，两者具有的抽象概括程度不同，所发挥的作用各有侧重点，强调指导思想的是数学思想，强调操作过程的是数学方法。一方面，数学方法受数学思想的指引，是数学思想在数学活动中的反映和体现，更具体、更具实践性，所以相对容易被掌握和理解；另一方面，数学思想是相应的数学方法的结晶和升华，更抽象、更具理论性，所以相对难以被理解和运用。

由于人们在数学学习与研究、实践活动中，难以准确地去把数学思想与数学方法严格区分开，所以常常统一称为数学思想方法。在高中物理的教学研究中，有很多关于数学思想方法与高中物理教学相关联的成果，不过其中侧重探讨数学方法在高中物理教学中的应用的研究居多，探讨数学思想的较少。从长远看，思想更能启迪人，引导人，所以期待更多关于数学思想与高中物理教学如何融洽的探讨。

1.3高中物理中常见的数学思想与方法

一．高中物理中常见的数学思想

高中物理中蕴含的数学思想常见的主要有四种：方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想。它们蕴含在高中物理的各个部分中，如果我们能将它们挖掘出来，进行归纳整理，在这些思想的指导下，站在更高的高度去理解物理问题，必然会有更多的收获。

1.方程函数思想

方程函数思想是指非函数方程问题转化为方程函数形式，并运用方程函数的有关意义、性质来解决问题。

方程思想的核心是运用数学的符号化语言，将问题中已知量和未知量之间的数量关系，抽象为方程（或方程组）、不等式等数学模型，然后通过对方程（或方程组）不等式的变换求出未知量，使问题获解，方程思想体现了已知和未知的对立统一^[51]。中学阶段，学生掌握方程思想要做到三点。第一要事先设定未知数来沟通问题中所涉及到的各量之间的关系；第二要学会代数翻译，列出方程或方程组；第三要学会解方程的思想。

在初中《代数》中给出了函数的传统定义：一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。”这是符合初中生思维水平的定义。更普遍、更概括的定义是：“函数深刻地反映了客观世界的运动变化与实际事物的量与量之间的关系。”“函数思想，就是用运动和变化的观点，分析和研究自然界中具体问题的依存关系，剔除问题中的非数学因素，抽象其数学特征，用函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究，运用函数的性质使问题获得解决的思想。因此，对应是函数思想的本质特征。

在高中物理的解题中，方程函数思想运用非常广泛。我们首先将问题中的次要因素忽略，把具体的实际问题转化为物理问题，建立物理模型，然后用方程函数思想，根据物理原理找出已知量和未知量之间的关系，建立方程、方程组或者函数表达式进行求解。例如，身高1.8米的跳高运动员，想要越过1.8米的横杆，求起跳瞬间竖直分速度的最小值。要求解这个问题，首先将运动员当做一个重心在身体一半高度处的质点，然后忽略空气阻力，就将问题转化成了一个质点要上升0.9米，则竖直初速度至少为多少的竖直上抛运动的问题。接着，找到已知量高度h，重力加速度g和未知量v₀之间的关系，然后建立方程、求解。

2.数形结合思想

“数与形，本是相依倚，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合”对科学研究和解决问题的重要性。数形结合的思想，就是把物体的空间形式和数量关系结合起来进行考察，通过数与形之间的对应和转化来解决问题的思想。在高中物理中，一方面，我们可以将涉及图像的问题转化为数量关系来研究，对图形作精细的分析，得到对问题的精确地，理性地认识；另一方面，也可以借助图形实现抽象概念与具体形象的联系与转化，变抽象为直观、具体，从而使问题得到简化。

数与形在具体运用上有各自的特点和优点。用代数式解决问题，具有抽象、概括、精确等优点；用图形解决问题，则更加形象直观、更加活泼。数形结合应用，可以让两者形成优势互补。代数式的运算可以让我们的思维变得更有逻辑，更加严谨，也便于我们精细的研究问题；图形帮助我们建立起关于物理量及其变化的生动图景，便于对问题形成一个整体性的了解，为建立代数式奠定基础。

运用数形结合的方式解决物理问题是物理解题的一个重要策略。一方面，事物之间量的关系都可以用代数式来表示；另一方面，任何事物都可以通过某种“形”来直观地反映其形态或者存在形式，这些形更具体，更容易被人脑所感知。因此，数和形的协作统一，有机结合能够给抽象的数量关系以形象的几何直观，也能把几何图形问题化为数量关系。运用数形结合思想进行解题的模式可以用以下框图表示。

“人以群分，物以类聚”。分类思想是将被研究的某个问题视为一个整体，然后按照一定的标准进行划分，将整体分成几个部分，分别对这几个部分进行解答，最后整理得出原整体问题的解答。实际上，这就是一个先化整为零，然后各个击破，最后再聚零为整的过程。

分类的思想在自然科学和社会科学乃至日常生活中都经常会用到，是一种重要的思想。无论是在什么条件下进行分类，都要遵循一定的原则：首先要有一定的研究对象，其次在一次分类行为中要始终按照一个确定的标准进行统一的划分，不重复也不遗漏，分层次进行讨论，最后归纳得到结论。

高中物理教学中，常常会使用到分类思想。比如教材按照力学、电磁学、热学等来划分教学板块，实际就是一种分类。在具体解决物理问题的时候，分类的思想可以让一个复杂的问题被分解成同一标准下的几种相对简单的问题，最终使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。这既有利于学生深入地了解物理现象，理解物理概念和规律，掌握物理公式的使用条件，也可以通过分类讨论，消除学生头脑中的片面错误的观念，以培养学生的发散性思维和创新意识。

在具体运用分类思想解决物理问题时，最关键的一个步骤是要根据题目的具体情况确定将要按照一个什么样的标准去进行分类。如果标准弄错，那么必然导致结论不正确。而这个标准的确定，主要依据所给出的物理问题的已知条件的缺失或者已知条件的不明确得到的。在高中物理中，这些缺失和不明确主要涉及到物理状态的不确定，物理过程的不确定，已知条件中某个或某些物理量的不确定，结论的不确定等情况。

4.化归思想

所谓化归，从字面上看，应理解为转化和归结的意思。所谓化归思想是把待解决的问题，通过某种转化手段或过程归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题上去，最终求得原问题之解的一种思想。化归思想的实质是揭示联系，实现转化。

化归的原则是使问题从难到易、从繁到简、从暗到明、从未知到已知，通过问题转化使问题得以解决。这种思想具有普适性，在物理解题中也有着广泛的应用。我们在解决物理问题的时候，审题后分析问题，分析的过程中我们会展开联想，在记忆里去提取与这个问题有关的公式，定理或者规律，也会在记忆里去搜索与该问题相近的已经解决过的问题，然后在这些基础上进行进一步的分析，以求得答案。这种解题的思维过程，实际上就是一个化归的过程，这是解题的中心环节，解题的实质就是促使问题发生一连串的转化，使陌生、困难、复杂的问题转化成熟悉、容易、简单的问题。

高中物理教学中，常见的几种转化的形式是：现实状态与理想状态的转化；三维空间与二维平面的转化；一般性问题和特殊性问题的转化；微观状态与宏观状态的转化；变量与常量的转化；正向思维与逆向思维的转化；直线与曲线的转化等。

二． 高中物理中常见的数学方法

物理学中的数学方法，是运用数学工具分析及阐明物理理论、解决物理问题的方法，是解决和说明物理问题时采用的数学理论工具，它要求人们根据物理研究对象的特点，分别或综合地运用各个数学分支提供的概念、理论、方法和技巧，对对象进行结构及数量方面的描述、计算和推导，进而作出分析、判断，从而揭示物理对象的运动规律。高中物理中常见的数学方法有：数学比例法、三角函数法、图像求解法、几何图形法、数学极值法、数列极限法、导数微元法、空间向量的坐标运算法、排列组合法等。

数学方法是一种具体的操作方法，因此高中学生对以上数学方法并不陌生，在物理教学中教师也常常会使用这些方法，给人信手拈来的感觉，学生在理解教师的解题方法时也能很快恍然大悟，但轮到自己独立解题的时候却抓耳挠腮的不知所措。问题的关键是缺乏深刻的数学思想做指导，所以不知道如何运用数学方法做工具去攻克一个一个的难题。关于数学方法的相关内容在此不再多做介绍，这些已经被教师和学生熟悉的数学方法如何能被灵活地运用于物理问题的解答中，是该课题重点要讨论的内容。