第四章 在高中物理中加强数学思想方法渗透的教学案例

4.1教学案例1 直线运动的图像

一．问题的产生

2007年秋，我正在教高一物理，课程正好学到直线运动的图像问题。一个毕业2年的学生到学校来看我，看到我正在批改作业，一时技痒，拿起一道题目开始做，题目如下：

甲，乙，丙三辆汽车以相同速度同时经过一个路标，从此时开始甲车一直做匀速运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，它们经过下一路标时速度又相同，则                                  （        ）

A.                甲先通过下一路标              B. 乙先通过下一路标

C.                丙先通过下一路标              D. 条件不足，无法判断

这位同学当时是我的课代表，物理知识扎实，他居然也没有忘记所学的运动学的公式，就开始进行计算，最终算出了答案，但过程繁琐。他得意洋洋的看着我，我说：“不错哦，计算出了正确结果，不过你为什么不尝试用图像的方法来求解呢。”他立刻恍然大悟。

作出了三辆汽车的速度——时间图像

图像一旦做出来，答案立刻就形象的出现在眼前。我问他为什么一开始没有想到用这个更为简洁的方式来解答，他说：“这是物理题目，一开始我想到的就是用物理公式和规律来做。如果我这个时候正好在学运动图像，我肯定会一开始就想到用图像，可是时间这么长，就只想到公式了。”

因此，我反思平时的物理教学，在教学过程中，只是把运动图像当做一个物理知识来教授，学生学到的只是一个结果，而不是最本质的东西，因此不能对他们产生深远的影响，这就导致他们在处理物理问题的时候往往会忽略数形结合的思想。我的这位学生不假思索的运用了方程函数思想来解决这个问题，实际也是对数学思想方法的应用，但是在不同环境下，不同的数学思想方法产生的效果是不一样的，因此不仅要让学生具备一定的数学思想方法，也要让学生学会根据不同情况去选择最实用的数学思想方法来解答各种物理问题。

因为匀变速运动的V-t图像是一次函数，从图像不仅能体现速度随着时间变化的情况，也能通过斜率体现加速度，通过面积体现位移，所以数形结合思想往往在这一部分的学习中能起到很好的效果。

二．对运动图像问题的教学的思考

我应该如何改变以往的教学方式，让数形结合的思想真正的深入到学生的头脑中，成为他们解决问题的锐利的武器？数形结合思想是一种重要的数学思想，但是它的应用范围不仅仅局限在数学学科的领域，在多种学科中都能发挥重要的作用，高中学生在学习物理的过程中，头脑中如果具备良好的数形结合思想，那么在这个思想的指导下必然会让学习过程变得更简捷、有效。

我之前是如何进行的运动学图像教学呢？

这部分教学内容是高中物理教学内容的第一部分，属于必修1的第一章，所以这实际是学生第一次在物理中系统的学习图像问题。所以在教学的过程中我会比较注意讲解的方式。

最初的图像是在匀速直线运动部分，我直接要求学生作一个匀速直线运动的图像，横坐标为时间t，纵坐标为速度v，学生基本都能画出正确的图像，我自然也认为这是理所当然的，所以对于这个我认为颇为简单的问题，之前从来没有想到要问学生他们是如何思考然后画出来的。接着，我就会要求学生做匀速直线运动的位移—时间图像。到这一阶段，学生基本也能够画出正确的图像。可是课后习题的反馈情况说明事实并不乐观。例如：

根据图像，详细描述做直线运动的物体的运动情况。

虽然学生在课堂学习的时候能自己画出正确的匀速直线运动的s-t图像，但是在做这道题目的时候，不少同学认为0到t₁这段时间物体在上坡，然后t₁到t₂水平运动，最后一段下坡。我问个别错误的同学为什么会得到这样的结果？他们的回答很简单：“因为从图像上看，这就是斜向上，然后水平，然后斜向下的运动。”那时候，我会耐心的纠正他们的错误，首先就是将课堂上他们自己画的图像做为最强有力的论据展现在他们面前，让他们意识到在s-t图像中，一段倾斜的直线只是代表在某一条直线上匀速运动，而一段平行于t轴的直线却代表的是静止。接着我会画一些图像对他们进行强化。看来效果好像不错，学生能做对题目了。可是现在回想起来，那只是一种强迫下的记忆产生的结果，并不是理解以后的结果。

之后在进行匀变速直线运动的图像的教学时，会借用实验，得到做匀变速直线运动的纸带，计算每个计数点的速度，然后在 图像中进行描点，然后连线，得到匀变速直线运动的 图像。接着，就会直接告诉学生，这就是匀变速直线运动的 图像，并且通过图像观察得到这条直线的斜率保持不变，所以斜率就是加速度。这个时候，会有一些基本的图像让学生熟悉。

由于刚学过，所以大多数学生能够得到正确的结论。不过由于刚涉及到方向问题，所以很多同学会认为图4中的A物体和B物体是在一条直线上做相向运动。虽然通过讲解，很多同学能够从图像上轻易地看出A物体是在做减速运动，可是在今后的解题中他们还是会轻易地延续那种错误的想法。

与之上的匀速直线运动图像中学生所犯的错误对比，我们可以发现，错误的根源在于学生未能很好地运用数形结合的思想。他们还是停留在从直观的形上去定义事物，而没有能很好地结合物理情景去思考、去讨论，所以容易认为图像中图线的倾斜方向就是它们运动的方向。对于学生在这个部分容易犯的错误，我在处理上往往认为是自己在物理知识上讲解不够，比如认为是因为对正负表示方向这个内容强调得不够明确才导致学生在处理图像时犯错，所以我会更多的强调一些关于物理方面的知识，也会有一些效果，不过从长远来看，并未取得良好的教学效果。

三．数形结合思想指导下的运动图像教学

这位毕业的同学让我反思了以前的教学过程，迫使我去思考用另外一种途径去教学，我仔细的回想自己在解题的过程中为什么对于熟悉或者不熟悉的图像问题都能很好地解决？答案是不论图像是什么，我都会先假定这就是数学上的y-x图像，然后从数学的角度去思考这个图像表示的是y和x之间的什么函数关系，并且还可以从数学的角度去研究一些更细节的地方，比如斜率。接着，我就会结合物理题目将y和x还原成图像上本来标注的物理量，刚才得到的y和x的关系自然就可以当做这两个物理量之间的关系。当然最后还需要从物理意义的角度去检查结论是否符合实际的意义。

1.教学片断一

我们刚才通过实验，得到了纸带运动的v-t图像，如图所示

得到这个图像以后，我没有直接去分析这个图像，而是给出了下面的图

两个图除了坐标轴的符号，其余都一样，可是学生看到这个图会很轻松，因为这是他们所熟悉的数学函数图像中的最简单的一种图像。

老师：请一位同学为大家分析图6中y和x之间的关系。

甲同学：y和x成正比，y=kx

老师：还有同学需要补充吗？

乙同学：y随x增大而均匀增大，k=5

老师：那么谁能回答我们根据实验做出来的图5，瞬时速度v随着时间t变化的情况？

丙同学：v随t增大而均匀增大，v=kt

老师：k是什么？

丙同学：斜率，等于5

老师：k在这里有单位吗？

丙同学：应该有吧

老师：大家讨论讨论，有单位吗？单位是多少？

丙同学：因为k=v/t，所以有单位，单位是m/s²

老师：这个单位是哪个物理量的单位？

丙同学：加速度。

老师：请你总结图5表示的是什么形式的直线运动？

丙同学：加速度为5 m/s²的匀加速直线运动。

老师：请同学们仔细观察图7和图8，然后描述图8中表示物体在做什么样的直线运动？

丁同学：做初速度为0.5m/s的匀加速运动

老师：加速度还是等于多少？

丁同学：5m/s²

老师：你能写出图7中y和x的函数关系式吗？

丁同学：一次函数，y=kx+b,k=5,b=0.5，所以y=0.5+5x

老师：你还能写出图7中v和t的函数关系式吗？

丁同学：也是一次函数。v=0.5+5t

老师：我们回顾图6和图8的两个匀变速直线运动，同学们可以告诉我这两个运动的方向是朝着什么方向吗？

学生讨论，有的认为是朝着斜向上的方向直线运动，可是很快被别的同学反驳了，有图5和图7做参照，同学们比较容易的理解了在v-t图像中直线的倾斜方向并不代表运动轨迹，而是体现了v随着t的变化而变化的情况。

2.教学片断二

老师：我们已经学习了匀变速直线运动的基本规律，知道了瞬时速度和位移的表达式。下面，大家观察图9和图10，思考图像表达了物体在做什么样的直线运动？

同学回答：A和D是匀速直线运动，B是匀变速运动，C是静止

老师：我们在v-t图像和s-t图像中都可以表示匀速直线运动，那么他们如何在s-t图像中表示出匀变速直线运动呢？我们先考虑最简单的匀变速直线运动，也就是初速度为0的匀变速直线运动。

同学之间讨论。

老师：如果同学们现在无法得到答案，那么我们先来解决一个数学问题：请你画出 的图像。

老师：那么初速度为0的匀变速直线运动的位移公式是什么？

同学：  

老师：现在你们再思考刚才的问题：如何在s-t图像中表示出匀变速直线运动呢？

A同学：老师，我知道了。肯定是和 的图像一样，是抛物线。我来画。

老师：同学们赞同A同学所画的图像？

B同学：我觉得时间不能为负。

老师：那你觉得应该如何让修改呢？

B同学：只保留第一象限的图像，第二象限的不要。

老师：非常好，我们借用数学知识解答了物理题目以后，还要注意检查所得的结果在物理上是不是具有意义，并做相应的修改。

四．小结

在本节的教学过程中，使用数学相关图像作为参照，很容易让学生理解，也便于让他们从本质上去体会数形结合意义。不仅让学生体验到物理图像表示的是横纵坐标的物理量之间的相互关系，而不是简单的一个平面图；也让学生体会到不仅从图像上可以得到横纵坐标两个物理量之间的函数关系，也可以通过函数表达式去画出相关的两个物理量的图像。这样的教学更具普遍意义，让学生明白任何两个量之间的函数关系一旦确定，都可以从数学的y和x函数关系对应图像中找到我们需要的答案。反之也一样，如果要从已知图像中去找寻横纵坐标两个量之间的函数关系，也要借助数学上的y-x图像。比如在实验中，根据描点得到了图像，那么根据图像也就能知道物理量之间的函数关系了，从而就可以进行更精细的研究。

    我的这位学生实际也应用了数学思想方法来解决这个问题，不过他应用的是方程函数思想，而我应用的是数形结合思想。两种思想都可以解决这一个物理问题，相比之下，数形结合思想更简洁。这让我意识到，不同的数学思想方法有其适用的针对性，这就要求我们在用到数学思想方法解决物理问题的时候要多思考，多比较，根据不同的物理情景选择最合适的数学思想方法进行应用。因此，在课堂教学中，帮助学生学会比较各种思想方法的特点，从而进行恰当的选择也是一项重要的工作。例如用方程函数思想解答可以更清晰的了解整个过程物理量的变化情况，更准确和精细，但用数形结合思想解答可以更直观、快捷。方程函数思想是学生们接触得早也接触得最多的一种数学思想，所以学生会更容易在不知不觉间去运用，从而减少了去思考是否还可以使用别的思想方法的可能，这是我们再教学过程中需要注意的地方。